1. 数字推理

1.1. 开篇：重点速记

一、30以内数的平方：

1(1)、 4(2)、 9(3)、 16(4)、 25(5)、 36(6)、 49(7)、 64(8)、 81(9)、100(10)。

121(11)、144(12)、169(13)、196(14)、225(15)、256(16)、289(17)、324(18)、361(19)、400(20)。

二、10以内数的立方：1、8、27、64、125、216、343、512、729、1000

三、2、3、4、5、6的多次方：

2的1-10次幂：2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024

3的1--6次幂：3、9、27、81、243、729

4的1--5次幂：4、16、64、256、1024

5的1--5次幂：5、25、125、625、3125

6的1--4次幂：6、36、216、1296

四、质数列和合数列

1.质数列（30以内）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。

2.合数列（20以内）：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。

质数：质数是指只有1和它本身两个因数的数。
合数：合数是指除了1和它本身还有别的因数的数。

1.2. 等差数列

1.2.1. 题型特征

数列较短且基本单调，从大数字看变化幅度不大，约为1-2倍为左右。

1.2.2. 方法

逐级做差（一般为后一项减去前一项）

1.2.3. 特殊数列

质数数列；平方数列

1.3. 等比数列

1.3.1. 题型特征

数列较短且基本单调，从大数字看，变化幅度为2-6倍左右，某两项有明显的倍数关系

1.3.2. 方法

相邻两项做比（一般大数字除以小数字）

1.4. 和数列

1.4.1. 题型特征

数列较长，从大数字看，变化幅度为1-2倍左右，某三项有明显的加和关系

1.4.2. 方法

相邻两项做和后观察规律

1.5. 多次方数列

1.5.1. 题型特征

单调陡增，变化幅度一般在8倍以上（重点考察数字敏感）

1.5.2. 方法

转化成多次方的数字形式观察规律

1.6. 分式数列

1.6.1. 题型特征

数列大部分由分数组成。（分子分母各自规律；分子分母纠缠在一起共同决定下一个数字）

1.6.2. 方法

分子，分母易通分；把原数列当作普通数列考虑（差、比、和）

分子，分母不易通分；分子，分母拆开或结合看

1.7. 组合数列

1.7.1. 题型特征

数列较长，一般由6个数字及以上组成。

1.7.2. 方法

先间隔看，再两两组合看

1.8. 数字图表

1.8.1. 题型特征

环形或者三角形为主

1.8.2. 方法

周围数字运用四则运算得到中间数字

2. 数学运算 - 基础运算

2.1. 数论知识

2.1.1. 重点速记

公约数：几个整数同时均能整除的整数,称这个整数为它们的“公约数”。

最大公约数：公约数中最大的称为最大公约数。

公倍数：在两个或两个以上的自然数中,如果它们有相同的倍数,这些倍数就是它们的公倍数。

最小公倍数：这些公倍数中最小的,称为这些整数的最小公倍数。

质数（素数）：质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他约数的自然数。

合数：合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。

互质：公约数只有“1”

求最大公约最小公倍数的方法：短除法

最大公约数：除到全部互质

最小公倍数：除到两两互质

2.2. 定义新运算

运用新定义，步步运算即可

3. 数量关系 - 行程问题

3.1. 普通行程问题

3.1.1. 基本公式

路程=速度× 时间

s = v ∙ t

3.1.2. 比例关系

当路程、速度、时间中有一个量相等时，另外两个量成比例关系。其比例关系如下：

速度相同时，路程与时间成正比

时间相同时，路程与速度成正比

路程相同时，速度与时间成反比

3.2. 相遇追及问题

3.2.1. 直线相遇问题

关键词：同时、相向

基本公式：S总 = S甲 + S乙 =（V甲 + V乙）∙ t

重要结论：

S甲 ：S乙 = V甲.t : V乙∙t = V甲 : V乙

S甲 ：S总 = V甲 : （V甲 + V乙）

3.2.2. 直线追及问题

关键词：同时、同向

基本公式：S总 = S甲 − S乙 = （V甲 − V乙）∙ t

3.2.3. 环形相遇问题

关键词：同时、相向、同起点

基本公式：周长 = S甲 + S乙 = （V甲 + V乙）∙ t

结论： S甲 ：（S甲 + S乙）= S甲 ：周长 = V甲.t : （V甲 .t+ V乙.t） = V甲 : （V甲 + V乙）

3.2.4. 环形追及问题

关键词：同时、同向、同起点

第一次追上：

周长 = S甲 − S乙 = （V甲 − V乙）. t

第n次追上：

n周长 = S甲 − S乙 = （V甲 − V乙）. t

3.3. 牛吃草问题（记公式）

3.3.1. 追及型牛吃草问题

特征：一个消耗，一个补充

公式： M=（N1-x）T1=（N2-x）T2=（N3-x）T3

计算步骤：

①先算出x；

②代入算出M

③算出N3或者T3

3.3.2. 消耗型牛吃草问题

特征：两个消耗

公式： M=（N1+x）T1=（N2+x）T2=（N3+x）T3

计算步骤：

①先算出x；

②代入算出M

③算出N3或者T3

3.4. 水流行船问题

3.4.1. 基本公式

1.四个速度：

静水中的速度：V静

水流速度：V水

顺水速度：V顺

逆水速度：V逆

2.计算

V顺=V静+V水

V逆=V静−V水

V静=（V顺+V逆）/2

V水=（V顺-V逆）/2

4. 数量关系 - 工程问题

4.1. 普通工程

4.1.1. 基本公式

工作总量=工作效率 × 时间

W=P∙t

1.比例关系

当工作总量、工程效率、时间中有一个量相等时，另外两个量成比例关系。其比例关系如下：

效率相同时，工作总量与时间成正比

时间相同时，工作总量与效率成正比

工程总量相同时，效率与时间成反比

4.2. 多者合作

特值法一：

当题干出现多个完成时间时，设工作总量为完成时间的最小公倍数（或者公倍数），进而，表示出对象的效率。

特值法二：

当题干直接（间接）告诉效率比，设效率是效率比的数值

特值法三：

当题干出现具体的人数，或者机器数量，可设每人每天效率为1，或者每台机器每天效率为1

5. 数量关系 - 利润问题

5.1. 基本公式

5.1.1. 基本概念

成本⇔进价

定价⇔售价

打n折=售价× n × 10%

降价20%，即打八折

5.1.2. 基本公式

利润=售价−成本

利润率 = 利润/成本 × 100% = （售价-成本）/ 成本 × 100% =（ 售价/成本 − 1）× 100%

利润=成本 × 利润率

售价=成本 × （1+利润率）

成本=售价 /（1+利润率）

6. 数量关系 - 排列组合

加法原理：完成一件事情，需要划分几个类别，各类别中的方法可以独立完成这件事情。当这种分类没有重复、没有遗漏时，完成这件事情的方法总数等于每一类方法数之和。（分类相加！）

乘法原理：完成一件事情，需要分为几个步骤，每个步骤内的方法刚好完成该步骤，所有步骤实施完毕刚好完成这件事，则完成这件事情的方法总数等于每一个步骤的方法数之积。（分步相乘！）

6.1. 计数原理

（一）排列，是指从n个不同元素中任取m个按照一定顺序排成一列，排列种数记作Amn=n!/(n-m)!。（“元素顺序影响结果就是A！”）

（二）排列的计算

Amn：从n开始，往下数m个数相乘。

Ann= n × （n − 1） × … × 1 = n!，称为全排列。

（三）组合：是指从n个不同元素中取出m个元素作为一组，组合种数记作 Cmn=n! /(m! * (n-m)! )。

与排列不同的是，组合只关注取出的是什么，不考虑取出的顺序！（“顺序不影响结果！”）

（四）组合的计算

Cmn=Amn/Amm=分子从n开始往下数m个数相乘/分母从1开始到m相乘

（五）组合计算的性质

C1n=n；Cnn=1；Cmn=C(n-m)n

1.当对位置有限定，或元素对位置有特殊要求时，采用优限法

2.要求元素相邻，采用捆绑法，将捆绑后的元素看做一个整体，和其他元素进行排列或组合。（注意，捆绑法内部的元素，一般情况需要排列。）

3.插空法：要求不相邻时，将其他元素正常排列组合，n个元素形成n+1个空，然后将要求不相邻的元素，插入形成的空中

4.间接法：当题目出现至少、至多词汇，算出总量和对立面，做差。

5.错位重排：记特殊对应值（1:0；2:1；3:2；4:9；5:44；6:265。）

7. 数量关系 - 概率计算

7.1. 古典概率

如果试验中可能出现的等可能事件数有n个，而事件A包含的等可能事件数有m个，那么事件A发生的概率为：P(A)=m/n。P(A')是事件A的补事件概率，即事件A不发生的可能性

间接计算：P(A)=1 - P(A')

7.2. 独立重复试验

在相同条件下，将某试验重复进行n次，且每次试验中任何一事件的概率不受其他次试验结果的影响，这类试验称为n次独立重复试验。

如果在一次试验中A事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A事件恰好发生k次的概率为：P(A发生k次)=Ckn.p的k次方.(1-p)的(n-k)次方

8. 数量关系 - 容斥问题

8.1. 二者容斥

容斥问题即包含与排斥问题，它是一种计数问题。这类题目题干特点显著：题目中给出多个概念，概念之间有集合关联。A交B、A并B

A并B = A + B - (A交B)

8.2. 三者容斥

A交B交C、A并B并C

A ∪ B ∪ C 的公式

A ∪ B ∪ C = A + B + C − ( A ∩ B ) − ( A ∩ C ) − ( C ∩ B ) + A ∩ B ∩ C

min(A ∩ B) = A + B - I

min(A ∩ B ∩ C) = A + B + C - 2.I

min(A ∩ B ∩ C ∩ D) = A + B + C + D - 3.I

9. 数量关系 - 浓度问题

浓度 = 溶质/溶液 × 100% = 溶质 / (溶质 + 容液) × 100%

溶质 = 溶度 × 溶液

溶液 = 溶质 / 溶度

10. 数量关系 - 几何问题

10.1. 三角形

在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即a+b > c，a-b < c

勾股定理：对于直角三角形，两直角边分别为a、b，斜边为c，满足关系式：a.a + b.b = c.c。常见勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10等。

三角形相似的判定方法：

（1）边边边：如果一个三角形的三条边与另一个三角形三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

（2）边角边：如果一个三角形两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

（3）角角角：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

圆周角性质：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。其中，直径所对应的圆周角是直角。

10.2. 立体几何

计算问题包括的知识点很多，如等差数列、鸡兔同笼、整除特性等等，基本上是每年考试中考查题量最大的题型。计算问题侧重对考生数学基础理论的考查，这需要考生在备考阶段多学习积累，以备不时之需。

11. 数量关系 - 基础运算

11.1. 等差数列

11.1.1. 概念

相邻两项差值相等的数列叫做等差数列。

已知一个等差数列的首项a1，公差d，求第n项an：

通项公式：an = a1 + (n − 1).d

通项公式推广：an = am + (n − m).d

11.1.2. 重要性质

在等差数列中，当整数p + q = m + n，根据通项公式，得：

ap = a1 +(p − 1).d

aq = a1 +(q − 1).d

am = a1 +(m − 1).d

an = a1 +(n − 1).d

则

ap + aq = a1 + (p − 1).d + a1 + (q − 1).d = 2.a1 + (p + q − 2).d

am + an = a1 +(m − 1).d + a1 + (n − 1).d = 2.a1 + (m + n − 2).d

因为p + q = m + n

所以ap + aq = am + an

11.1.3. 求和公式

等差数列的前n项和Sn

Sn = （首项+末项）/ 2 × 项数= (a1 + an) / 2 × n

Sn = ( 2. a1 + (n-1).d ) . n / 2 = (2.n.a1 + (n-1).d.n) / 2 = a1.n + n.(n-1).d/2

当n为奇数的时候，中项求和公式：

Sn = a中.n，(a中 的下标)中间项数 = (n+1)/2

11.2. 公约数公倍数

11.2.1. 基本概念

1.约数、倍数

如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a是b倍数， b是a的约数。

a/b= n，n是整数， a是b的倍数， b是a的约数。

2.公约数、公倍数

如果一个自然数同时是几个自然数的约数，那么称这个自然数是这几个自然数的公约数

如果一个自然数同时是几个自然数的倍数，那么称这个自然数是这几个自然数的公倍数

3.最大公约数、最小公倍数

若干个数的公约数中最大的一个就称为最大 公约数

若干个数的公倍数中最小的一个就称为最小 公倍数

4.互质

如果若干个不同的自然数除了1之外没有其他的公约数，这些数就是互质的。

11.3. 比例计算

（一）比例的统一

（二）比例的核心：份数

11.4. 二元一次方程（鸡兔同笼）

11.5. 循环计算 - 植树问题

11.5.1. 什么是植树问题

在一条路上等距离植树，计算树或者道路距离的问题，称为植树问题。

11.5.2. 植树问题公式

1.直线道路植树问题公式

（1）直线道路且两端都植树：

路长 =（单侧树 − 1） × 间距

（2）直线道路且一端植树：

路长 = 单侧树 × 间距

（3）直线道路且两端都不植树：

路长 =（单侧树+1） × 间距

2.环形种树问题

公式：周长 = 棵树 × 间距